برهان باستخدام مثلث قائم أي مثلثات متشابهة لها خاصية أنه إذا حددنا نفس الزاوية في كل منهم، فإن نسبة الضلعين التي تحدد الزاوية هي نفسها بغض النظر عن أي مثلث مماثل يتم تحديده، بغض النظر عن حجمه الفعلي: تعتمد النسب على الزوايا الثلاثة، وليس أطوال الأضلاع. وبالتالي بالنسبة لأي من المثلثات القائمة المتشابهة في الشكل، فإن نسبة ضلعه الأفقي إلى وتره هي نفسها، أي cos θ. التعريفات الأولية لدالتي الجيب وجيب التمام بدلالة أضلاع المثلث القائم هي: sin θ = المقابل / الوتر = b / c cos θ = المجاور / الوتر = a / c تتبع متطابقة فيثاغورس بتربيع كلا التعريفين أعلاه، وجمعهما؛ ثم يصبح الطرف الأيسر للمتطابقة: المقابل 2 + المجاور 2 / الوتر 2 والتي تساوي 1 حسب مبرهنة فيثاغورس؛ وهذا التعريف صالح لجميع الزوايا باستخدام تعريف بواسطة دائرة الوحدة. المتطابقات المتعلقة تطلق على كلا من المتطابقتين و أيضًا اسم متطابقات فيثاغورس المثلثية. إذا كان أحد ساقي المثلث القائم له طول 1، فإن ظل الزاوية المجاور لتلك الساق هو طول الساق الآخر، وقاطع الزاوية هو طول الوتر. و يوضح الجدول التالي المتطابقات مع علاقتهما بالمتطابقة الرئيسية: برهان باستخدام دائرة الوحدة طالع أيضًا: دائرة الوحدة تعرف دائرة الوحدة المتمركزة في الأصل في المستوى الإقليدي بالمعادلة التالية: إذا أعطيت الزاوية θ، هناك نقطة فريدة P على دائرة الوحدة تصنع زاوية θ انطلاقًا من المحور x، والإحداثيات x و y ل P: و وبالتالي، من معادلة دائرة الوحدة: متطابقة فيثاغورس.
طول الوتر في المثلث القائم الزاوية يساوي، مادة الرياضيات من المواد الهامة جدا التي يتم تدريسها في المنهاج في المملكة العربية السعودية، وتقوم بدراسة الأعداد، والمعادلات الحسابية، والعمليات الحسابية، والأشكال الهندسية المختلفة كالمربع، والمستطيل، والمثلث، والدائرة، وغيرها، والمثلث له عدة أنواع ويقسم على أساس الأضلاع، فمنها مثلث متساوي الأضلاع وفيه كل الأضلاع متساوية، ومثلث متساوي الساقين وفيه ضلعين متساويان، والمثلث ذو الأضلاع المختلفة، والمثلثات تنقسم إلى مثلث قائم الزاوية وفيه تكون إحدى زواياه قائمة تساوي 90 ْ، ومثلث حاد الزوايا وفيه جميع زوايا المثلث حاد الزوايا، ومثلث منفرج الزاوية. ولاستخراج طول الوتر في المثلث القائم يمكنك عزيزي الطالب الاستعانة بنظرية فيثاغورس وهي تعد من أهم النظريات الرياضية في عالم الرياضيات، فمجموع مربعي ضلعي المثلث القائم يساوي مربع الوتر، ومن الممكن التعبير عن هذه النظرية من خلال هذه الصيغة، أ، ب هما ضلعا القائمة، أما جـ فهو الوتر: أ² + ب² = جـ².
الحلّ: وفق نظرية فيثاغورس: (طول الوتر)²=(طول الضلع الأول)²+( طول الضلع الثاني)²، وبتعوّض قِيم الوتر والضلع الأول يمكن حساب طول الضلع الثاني كما يلي: (15)²=(9)²+(طول الضلع الثاني)²، 225=81+(طول الضلع الثاني)²، وبطرح 81 من الطرفين، ينتج أن: 144=(طول الضلع الثاني)²، وبأخذ الجذر التربيعيّ للطرفين، تكون النتيجة: طول الضلع الثاني=12سم. لمزيد من المعلومات حول نظرية فيثاغورس يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون نظرية فيثاغورس. Source:
طول الوتر في المثلث القائم الزاوية يساوي. ، علم الرياضيات يعتمد بالدرجه الاولى على العقل البشرى، حيث ان علم الرياضيات يقوم بتحليل الواقع ،ويعتبر علم الرياضيات من العلوم الرئسية فى كل مناحى الحياة، بفضل الرياضيات نقدر ان نقوم بتوزيع الطعام والشراب على بعضنا البعض، مادة الرياضيات هى المادة المهمة التى تساعد الطلاب على ايجاد الحلول للمسائل الحسابية المعقدة والصعبة. نظرية فيثاغورس تنص علي ان مجموع مرعي طولي ضلعي القائمة، وهما الضلعين الاقصر في المثلث قائم الزاوية، سميت هذه النظرية علي اسم العالم اليوناني فيثاغورس لانها تعتبر قديمة جدا في الحضارة القديمة، استخدمت هذه النظرية من قبل الهنود والبابليين. الاجابة: طول الوتر في المثلث القائم الزاوية يساوي. الجواب هو حل سؤال:طول الوتر في المثلث القائم الزاوية يساوي. مجموع مربعي طولي الضلعين المحاذيين للزاوية القائمة.
برهان باستخدام متسلسلة القوى يمكن أيضًا تعريف الدوال المثلثية باستخدام متسلسلة القوى، وهي (لزاوية تقاس بالراديان): باستخدام قانون الضرب الشكلي لمتسلسلة القوى في ضرب وقسمة متسلسلة القوى (تم تعديله بشكل مناسب ليراعي شكل المتسلسلة هنا)، نحصل على: لاحظ أنه في التعبير عن sin 2 ، يجب أن يكون n على الأقل 1، بينما في التعبير عن sin 2 ، فإن الحد الثابت يساوي 1. والحدود المتبقية من مجموعها (مع إزالة العوامل المشتركة): حسب مبرهنة ذو الحدين: وهو المطلوب اثباته. برهان باستخدام المعادلة التفاضلية يمكن تعريف الجيب وجيب التمام كحللين للمعادلة التفاضلية: تحققان على التوالي y (0) = 0, y ′(0) = 1 و y (0) = 1, y ′(0) = 0. يستنتج من نظرية المعادلات التفاضلية العادية أن الحل الأول هي دالة الجيب، والحل الثاني، جيب التمام، هي مشتقة الحل الأول، ويترتب على ذلك أن مشتق جيب التمام هو مقابل الجيب. المتطابقة تعادل التأكيد على أن الدالة: ثابتة وتساوي 1. تعطي الاشتقاق باستخدام قاعدة السلسلة: إذن، z ثابتة حسب مبرهنة القيمة الوسطى. تؤكد الحساب أن z (0) = 1، و z ثابتة إذن z = 1 لكل x. Source:
المثال الخامس: انطلق أحمد، وصديقه خالد على دراجة هوائية من نفس الموقع فإذا تحرّك أحمد باتجاه الشمال، وتحرك خالد باتجاه الشرق بالسرعة ذاتها، فما هي السرعة التي تحركا بها بوحدة (كم/ساعة) علماً أن المسافة بينهما هي: 2√17 كم بعد مرور ساعتين من انطلاقهما؟ الحل: يُلاحظ أن حركتي أحمد، وخالد تُشكلان معاً مثلثاً قائم الزاوية: الوتر فيه يساوي 2√17 كم، والمسافة التي قطعها كلُّ منهما تشكل ضلعي القائمة (س)، وبما أنّ السرعة = المسافة/الزمن، فإنه يجب لحساب السرعة إيجاد طول ضلعي القائمة أولاً، وذلك كما يلي: باستخدام نظرية فيثاغورس فإنّ: (2√17)² = س²+س²، ومنه: (2√17)² = 2س². بقسمة الطرفين على 2، وإيجاد الجذر التربيعي للطرفين فإن س = 17 كم. وبالتالي فإن المسافة التي قطعها كل منها تساوي 17 كيلومتر خلال مدة ساعتين، وبالتالي: السرعة = المسافة/الزمن = 17/2 = 8. 5كم/الساعة.