الحل: مساحة سطح متوازي المستطيلات= 2×(الطول+العرض)×الارتفاع+ 2×(الطول×العرض)= 2(3+4)×10+ 2×(4×3) = 164سم². لمزيد من المعلومات حول مساحة متوازي المستطيلات يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون مساحة متوازي المستطيلات. مساحة سطح الهرم يعتبر الهرم من المجسمات الثلاثية الأبعاد حيث يحتوي على قاعدة واحدة فقط على شكل مضلع منتظم، وأوجهه الجانبية عبارة عن مثلثات عددها مقرون بعدد أضلاع القاعدة، أما حساب مساحة سطحه فهي عبارة عن مجموع مساحات أوجهه المثلثة بالإضافة إلى مساحة القاعدة، وبالتالي: المساحة الجانبية للهرم= مساحة المثلث الواحد (الأوجه الجانبية)×عدد المثلثات. أما مساحة سطح الهرم الكلية= مساحة المثلث الواحد (الأوجه الجانبية)×عدد المثلثات + مساحة القاعدة. من الأمثلة التي توضح كيفية حساب مساحة الهرم ما يلي: مثال: احسب المساحة الكلية لهرم رباعي، إذاعلمت أن ارتفاعه الجانبي يساوي 17م، أما طول ضلع قاعدته فيساوي 16م. الحل: قاعدة هذا الهرم مربعة الشكل، أما عدد أوجهه المثلثة الجانبية فهو (4)، وعليه: مساحة سطح الهرم الكلية= مساحة المثلث الواحد (الأوجه الجانبية) ×عدد المثلثات + مساحة القاعدة = (1/2×16×17)×4 + 16×16 = 800م².
المنشور الرباعي المنشور الرباعي هو أحد أنواع المنشور المختلفة، ويتكوّن من عدة وجوه فله وجهان رباعيّان، ومتقابلان، ومتطابقان، ومتوازيان يسميان قاعدتا المنشور، وتسمى أوجهه الباقية بالأوجه الجانبيّة، وتتقاطع هذه الأوجه في مستقيمات تسمى الأحرف الجانبيّة، أمّا ارتفاع المنشور فهو البعد بين قاعدتيه. مساحة سطح المنشور الرباعي تتشكّل مساحة سطح المنشور من مجموع مساحات جميع أوجهه، أيّ أنّ مساحته تساوي مساحة السطح الجانبي بالإضافة إلى مساحة القاعدتين، وبما أنّ مساحة سطحه الجانبي هي حاصل جمع مساحات أوجهه الجانبيّة الأربعة، فمساحة كامل سطح المنشور تساوي مساحة الأوجه الجانبيّة بالإضافة إلى مساحة القاعدتين. مثال 1: أوجد مساحة منشور رباعي إذا علمت أنّ طول قاعدته يساوي 5 سم، وعرضها يساوي 3 سم، أما ارتفاعه فيساوي 4 سم؟ الحل: مساحة المنشور الرباعي= مجموع مساحة الأوجه الجانبية+مساحة القاعدتين. مساحة المنشور الرباعي= مساحة الوجهين الأمامي والخلفي+ مساحة الوجهين الجانبيين المتقابلين الآخرين+ مساحة القاعدتين. مساحة الوجهين الأمامي والخلفي= 2×(مساحة الوجه الواحد)= 2× (طول قاعدة المنشور×ارتفاع المنشور)= 2×5×4= 40 سم².
الحل: مساحة المنشور= 2×مساحة القاعدة + محيط القاعدة×ارتفاع المنشور = 2× 1/2×(6+12)×4 + (5+5+6+12)× 10 = 352سم². لمزيد من المعلومات حول مساحة المنشور يمكنك قراءة المقال الآتي: مساحة سطح المنشور الرباعي. Source:
مساحة الوجهين الجانبيين الآخرين= 2× (مساحة الوجه الواحد)= 2× (عرض قاعدة المنشور×ارتفاع المنشور)= 2×3×4= 24 سم². مساحة القاعدتين= 2× (مساحة القاعدة الواحدة)= 2× (طول القاعدة×عرض القاعدة)= 2× 5×3= 30 سم². مساحة سطح المنشور= 40+24+30= 94 سم². مثال 2: إذا علمت أنّ طول قاعدة منشور رباعي تساوي 10 ملم وعرضها يساوي 5 ملم، وكان ارتفاع المنشور يساوي 6 ملم فما مساحة سطحه؟ الحل: مساحة المنشور الرباعي= مساحة الوجهين الأمامي والخلفي+ مساحة الوجهين الجانبيين المتقابلين الآخرين+ مساحة القاعدتين. مساحة الوجهين الأمامي والخلفي= 2× (مساحة الوجه الواحد)= 2× (طول قاعدة المنشور×ارتفاع المنشور)= 2×10×6= 120 ملم² مساحة الوجهين الجانبيين الآخرين= 2× (مساحة الوجه الواحد)= 2× ( عرض قاعدة المنشور×ارتفاع المنشور)= 2×5×6= 60 ملم². مساحة القاعدتين= 2× (مساحة القاعدة الواحدة)= 2× (طول القاعدة× عرض القاعدة)= 2×10×5= 100 ملم². مساحة سطح المنشور= 120+ 60+ 100= 280 ملم². مثال 3: احسب ارتفاع منشور رباعي إذا علمت أنّ مساحته تساوي 158 سم²، وطول قاعدته تساوي 8 سم، أما مساحة قاعدته فتساوي 80 سم²؟ الحل: مساحة المنشور الرباعي= مساحة الوجهين الامامي والخلفي+ مساحة الوجهين الجانبيين المتقابلين الاخرين+ مساحة القاعدتين؛ 158= مساحة الوجهين الامامي والخلفي+ مساحة الوجهين الجانبيين المتقابلين الاخرين+ 80.
ماهو المنشور هو أي شيء يشغل حيز من الفراغ و يتكون من وجهان مضلعان بحيث يكونوا متساويان و متوازيين، أيضا يشترط أن تكون باقي أوجهه متوازية الأضلاع، الوجهان المتقابلان فيه يعرفون باسم قاعدتي المنشور وباقي الأوجه تسمي بالأوجه الجانبية، والخطوط المستقيمة التي تتقاطع عند الأوجه تسمى بالأحرف الجانبية، ارتفاع المنشور يعرف على حسب طول البعد بين قاعدتيه، و له العديد من الأنواع مثل المكعب و متوازي الأضلاع و متوازي المستطيلات و متوازي السطوح و غيرهم، و المنشور يعد واحد من الكثير من الأشكال متعددة الوجوه. أنواع المنشور يسمى المنشور على حسب عدد أضلع قاعدته، سواء مكعب منشور ثلاثي أو منشور رباعي أو منشور خماسي أو متوازي مستطيلات، هو أحد أنواع المنشور و تكون كل أوجهه مربع حيث الطول و العرض و الارتفاع متساوين، ويتميز المكعب بأن أوجهه تكون عمودية على قاعدته، والقاعدتين متوازيين. كما أنه يحتوي على ستة أوجه ،و أربعة أوجه جانبية بالإضافة إلى القاعدتين، أيضا يتكون من ثمانية رؤوس و إثني عشر حرف و المقصود بالحرف هو الخط المستقيم الذي ينتج عند تقاطع الوجهين، ومن أنواع المنشور أيضا متوازي المستطيلات جميع أوجهه على شكل مستطيلات، و يتكون من قاعدتين مستطيلتين و متوازيين و الأوجه الجانبية لديه تكون عمودية على القاعدتين، كما أنه يتكون من ستة أوجه جانبية و اثني عشر حرفا و ثمانية رؤوس فقط.
متوازي السطوح هو نوع من أنواع المنشور أيضا و قاعدتيه و أوجهه الجانبية على شكل متوازي الأضلاع، كما أنه يتكون من اثني عشر حرفا و ست أوجه وثمانية رؤوس، الزاوية الموجودة في متوازي السطوح لا تكون قائمة، فإذا حدث وكانت قائمة فانه في هذه الحالة يكون متوازي مستطيلات، وقاعدة عامة انه كل مكعب هو عبارة عن متوازي مستطيلات و كل متوازي مستطيلات هو عبارة عن متوازي سطوح وليس العكس كما قد يفهم البعض بشكل خاطئ. المنشور الرباعي هو واحد من أنواع المنشور المختلفة و المنشور يتكون من عدة أوجه بشرط وجود وجهان رباعيان وهما القاعدتين، و تكون باقي الأوجه متساوية و قاعدتي المنشور لا بد أن يكونوا متقابلان و متوازيان و متطابقان، و يعرفوا باسم قاعدة المنشور أما باقي أوجه المنشور فتسمي بالأوجه الجانبية، و هذه الأوجه تتقاطع في خطوط مستقيمة موجودة في الأوجه الجانبية، حيث تتقاطع الأوجه الجانبية في نهاية الخطوط المستقيمة و تسمي الأحرف الجانبية. و يحدد ارتفاع المنشور على حسب البعد المحدد بين قاعدتيه، و يوجد بعض القوانين الخاصة بالمناشير بصفة عامة، مساحة الأسطح الجانبية للمنشور يتم حسابها بحاصل جمع الأوجه الجانبية له، و المساحة الكاملة للمنشور تكون مجموع الأوجه الجانبية بالإضافة إلى مجموع قاعدتين المنشور، أما حجم المنشور فيكون مجموع القاعدتين × ارتفاع المنشور.