مثال: 1155 = 3 × 5 × 7 × 11، 525 = (5)² × 3 × 7، 390 = 2 × 3 × 5 × 13، وأبسط طريقة للوصول إلى العامل المشترك الأكبر لتلك الأعداد يتم وضع هذه الأعداد بدون أسس أو تكرار ثم القيام بالخطوات التالية. العوامل الأولية لتلك الأعداد هي 13، 11، 7، 5، 3، 2، فيتم أخذ العامل 2 المرفوع لأكبر أس، فيكون أكبر أس هو 1، فنأخذ الرقم 2، وبذات الطريقة يتم أخذ العامل 3. العامل الأولي 5 أكبر أس مرفوع إليه هو 2 فنحذف 5 ونضع (5)² بدلًا منها، وبذلك 7، 11 كليهما أكبر أس مرفوع إليم في كل هذه العوامل هو الأس 1، والعامل المشترك الأصغر هو 2 × 3 × (5)² × 7 × 11 × 13 = 225225. مثال: عوامل العدد 40 هي 1، 2 ، 4 ، 5 ، 8 ، 10 ، 20 ، 40، وعوامل العدد 32 هي 1 ، 2 ، 4 ، 8 ، 16 ، 32، وهناك عوامل مشتركة بينهما هي الأعداد 1، 2، 4، 8. ولإيجاد العامل المشترك الأكبر يتم تحليل العددين إلى العوامل الأولية، ثم تمييز العوامل المشتركة بين العددين، صم ضرب العوامل المشتركة بين العددين فيتم الوصول إلى العامل المشترك الأكبر. مثال: العامل المشترك الأكبر للعددين 30، 20، فالعوامل الأولية للعدد 20 هي 2، 2، 5، والعوامل الأولية للعدد 30 هي 3، 5، 2، فتكون العوامل المشتركة بين العددين هم 5، 2، فيتم ضرب العوامل المشتركة والناتج هو 10 فيكون ذلك هو العامل المشترك الأكبر.
الوسيلة الثانية هي إيجاد المضاعف المشترك الأصغر من خلال تحليل الأعداد إلى عوامل وقواسم أولية، ثم ضربها ببعض حسب تكراراتها. مثال على إيجاد العامل المشترك: يتم إيجاد العامل المشترك من خلال تحليل الأعداد وضرب القواسم المشتركة بينهما. مثال: الأعداد 390، 525، 1155، وهذه الأعداد جميعها قابلة للقسمة على 5، 78 × 5 = 390، ثم يتم تحليل 78 إلى العوامل الأولية. 78 | 2 39 | 3 13 | 13 1 فيكون 13 × 5 × 3 × 2 = 390، وبذات الطريقة 105 × 5 = 525، 21 × 5 × 5 = 525، وبالعلم أن 7 × 3 = 21، إذًا: 7 × 3 × (5)² = 525، إذًا: 231 × 5 = 1155. ثم تحليل 231 إلى العوامل الأولية. 231 | 3 77 | 7 11 | 11 فيكون 11 × 7 × 5 × 3 = 1155، ثم توضع الأداد كلها للمقارنة، 15 × 5 × 3 × 2 = 390، 7 × 3 × (5)² = 525، 11 × 3 × 5 × 7 = 1155، ومن خلال ملاحظة عوامل العدد الأصغر يكون هو 390، وأصغر عامل فيه هو الرقم 2، ولكن العدد 2 لا يوجد في عوامل القاسم المشترك الأكبر، فنأخذ الرقم 3 لأانه مكرر في كل الأعداد، والعدد 5 فقط، فيكون العامل المشترك الأكبر لتلك الأعداد هو 5 × 3 = 15. ولإيجاد العامل المشترك الأصغر يتمم نفس الخطوات وترتيب الأعداد من الكبير إلى الصغير.
إنّ العامل المشترك الأكبر للعددين 24 و 18 هو العدد 6 ، وفيما يأتي توضيح لكيفية الوصول لهذه الإجابة، وشرح للخطوات حتى تتمكن من فهم طريقة إيجاد العامل المشترك الأكبر بين أي عددين. بدايةً عزيزي السائل إنّ مجموعة عوامل الرقم هي مجموعة الأعداد التي ينتج عنها الرقم عند ضربها ببعضها البعض، ولإيجاد عوامل العددين 24 و 18 والعامل المشترك الأكبر لهما اتبع ما يأتي: ينتج الرقم 24 عن: (24×1)، و(12×2)، (8×3)، و(6×4). ينتج الرقم 18 عن: (18×1) و(9×2)، و(6×3). إذاً مجموعة عوامل الرقم 24 هي: (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24). إذاً مجموعة عوامل الرقم 18 هي: (1, 2, 3, 6, 9, 18). نرى أنّ أكبر عامل مشترك بين العددين 24 و 18 هو العدد 6. أي أنّ ع. م. أ = 6.
إيجاد العامل المشترك الأكبر (ع. م. أ) لرقمين عملية سهلة؛ كا ما تحتاج إليه هو إجراء عدة خطوات بسيطة على العددين قبل الوصول للنتيجة الصحيحة. يجب أن تحلل كلا العددين إلى عواملهما الأولية من خلال معرفتك بجداول الضرب، وبعد ذلك حدد أكبر عدد تراه ظاهرًا في عوامل كل منهما، وستجد من خلاله العامل الأكبر الذي تبحث عنه. 1 توصل إلى عوامل العدد. لست بحاجة لمعرفة التحليل إلى عوامل أولية كي تصل للعامل المشترك الأكبر؛ ابدأ ببساطة بإدراج كل العوامل التي تعرفها لكل عدد. 2 قارن بين مجموعتي العوامل وحدد الرقم الأكبر المتكرر في كل منهما. 1 حدد كل عدد تمامًا إلى عوامله الأولية. العدد الأولي هو عدد أكبر من 1 ولا يقبل القسمة سوى على نفسه (والواحد)، أي ليس له أي عوامل أخرى. من أمثلة الأعداد الأولية: 5 و 17 و 97 و 331 - على سبيل المثال لا الحصر. 2 حدد أي عوامل أولية مشتركة بين المجموعتين. استخرج أي عدد أولي ظاهر في كلا المجموعتين. يمكن أن تجد عدة عوامل مشتركة؛ أي لا يشترط إيجاد عامل واحد. 3 احسب: إذا وجدت عاملًا واحدًا مشتركًا، فهذا هو العامل المشترك الأكبر المطلوب. إذا وجدت أكثر من عامل أولي مشترك، اضرب كل العوامل المشتركة والناتج هو العامل المشترك الأكبر.
شرح العامل المشترك وامثله عليه ، العامل المشترك الأكبر الذي يظن بعض من يتعلمون الرياضيات أنه درس صعب ولا يتمكنون من إيجاده بسهولة رغم أنه بسيط وميسر إيجاده، ولذلك نوضح كيفية إيجاد العامل المشترك من خلال سطور هذا المقال على موسوعة. تعريف العامل المشترك: العامل المشترك لعددين هو أكبر عدد يقسم العددين معًا في نفس الوقت دون وجود باقي للقسمة، فكمثال العامل المشترك الأكبر للعددين 48 و 60 هو العدد 12. ولإيجاد العامل المشترك الأكبر لرقمين هو عملية بسيطة سهلة كل ما تحتاج إليه هو القيام بعدة خطوات سهلة وبسيطة على العددين قبل التوصل إلى النتيجة الصحيحة، فيجب تحليل العددين إلى عواملهما الأولية من خلال معرفة جدول الضرب، ثم يحدد العدد الأكبر الظاهر في عوامل كل منهما، ومنه سيتم إيجاد العامل المشترك الأكبر. مقارنة بين العوامل المشتركة: يتم التوصل إلى عوامل العدد، وليس هناك حاجة لمعرفة التحليل إلى العوامل الأولية كي يتم الوصول إلى العامل المشترك الأكبر، فببساطة يتم البدء بإدراج العوامل المعروفة لكل عدد. ثم تتم المقارنة بين مجموعتي العوامل وتحديد أكبر رقم متكرر في كل منهما. المضاعف المشترك الأصغر: يتم إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الطبيعية باستعمال طريقتين الأولى بكتابة المضاعفات لكل عدد من خلال ضرب العدد المعطى بالعدد واحد، ثم ضربه بالعدد اثنان، ثم ضربه بالعدد ثلاثة، ثم ضربه بالعدد أربعة وهكذا، ولكن هذه العملية تتطلب وقت طويل وجهد كبير للوصول إلى المضاعف الأصغر المشترك المطلوب.
4 لإيضاح هذه الطريقة، إليك مثالًا: جد العامل المشترك الأكبر للعددين 18 و 24. العوامل الأولية لـ 18هي (2،3،3) والعوامل الأولية لـ 24 هي (2،2،2،3). توجد 2 واحدة مكررة في كلا المجموعتين و3 واحدة. نضرب في المجموعة الأولى 2*3 = 6، وكذلك في المجموعة الثانية 2*3 = 6. العامل المشترك الأكبر للعددين 18 و 24 هو 6. أفكار مفيدة العدد الأولي هو عدد لا يمكن قسمته سوى على الواحد وعلى نفسه. هل تعلم أن العالم الرياضي (إقليدس) الذي عاش في القرن الثالث قبل الميلاد، أوجد خوارزمية لإيجاد العامل المشترك الأكبر في حال كان العددين من مجموعة الأعداد الطبيعية أو الأعداد متعددة الحدود؟ المزيد حول هذا المقال تم عرض هذه الصفحة ٣٤٬٣٩٧ مرة. هل ساعدك هذا المقال؟
ونجد العوامل المشتركة بين هذه الأعداد، هي: (1، 2، 3، 6). وبما أن أكبر هذه العوامل المشتركة هو (6)، إذًا العامل المُشترك الأكبر يساوي (6). 2_ المثال الثاني: استنتج العامل المشترك الأكبر بين الأعداد: 15، 30، 105؟ استنتاج عوامل كل من الأعداد الثلاثة كما يل: ما هي عوامل العدد 15: 1، 3، 5، 15. و عوامل العدد 30: 1، 2، 3، 5، 6، 10، 15، 30. عوامل العدد 105: 1، 3، 5، 7، 15، 21، 35، 105. نجد أن العوامل المشتركة هي: (1، 3، 5، 15). وبما أن أكبر عدد بين هذه العوامل المشتركة هو (15)، إذًا هو العامل المُشترك الأكبر. 3_ المثال الثالث: استنتج العامل المشترك الأكبر بين الأعداد: 180، 225، 270. ما هي عوامل العدد 180: 1، 2، 3، 4، 5، 6، 9، 10، 12، 15، 18، 20، 30، 36، 45، 60، 90، 180. وعوامل العدد 225: 1، 3، 5، 9، 15، 25، 45، 75، 225. بالإضافة إلى عوامل العدد 270: 1، 2، 3، 5، 6، 9، 10، 15، 18، 27، 30، 45، 54، 90، 135، 270 نجد أن العوامل المشتركة بين هذه الأعداد هي: (1، 3، 5، 9، 15، 45). وبما أن أكبر هذه العوامل المشتركة هو (45)، إذًا العامل المُشترك الأكبر يساوي (45). ما هو الفرق بين المضاعف المشترك الأصغر والعامل المشترك الأكبر 1_ المثال الأول: أوجد العامل المُشترك الأكبر للعديدين 12 و15 في البداية سـنقوم بالبحث عن العوامل الأولية لكل من العددين 12 و15 كالآتي: العوامل الأولية للعدد 12 = 3 × 2 × 2.